Question

已知函數，當時，函數取得極大值.

（１）求實數的值；

（２）已知結論：若函數在區間內導數都存在，且，則存在，使得.試用這個結論證明：若，函數，則對任意，都有；

（３）已知正數，滿足，求證：當，時，對任意大于，且互不相等的實數，都有.

 

Answer 1

【答案】

（1）-1；（2）（3）見解析.

【解析】本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。并和不等式進行綜合的試題。有難度。

解：（１）

 

（３）用數學歸納法證明.

①當n=2時，，且，，

，由（Ⅱ）得，即

，

當n=2時，結論成立.            …………………………9分

②假設當n=k時結論成立，即當時，

. 當n=k+1時，設正數，令，

， 則，且.

           …………………………13分

當n=k+1時，結論也成立.

綜上由①②，對任意，結論恒成立. …………………………14分