Question

已知x+2y=6，則

1

2

x2+4

+

y2+9

的最小值是（　　）

• A．1+3

  2

• B．

  10

  +3
• C．

  2

  +

  13

• D．5

Answer 1

分析：將已知x+2y=6構造成一條線段的長度，將

1

2

x2+4

+

y2+9

構造成由勾股定理計算的兩線段的長度，最后數形結合即可求得其最小值

解答：解：如圖：設AC=

x

2

，BC=y
則AB=AC+CB=

x

2

+y=

6

2

=3
AD⊥AB，BE⊥AB，且AD=1，BE=3
則

1

2

x2+4

=

( x 2 )2+12

，其幾何意義為線段DC的長

y2+9

=

y2+32

，其幾何意義為線段EC的長
∴

1

2

x2+4

+

y2+9

的最小值即DC+CE的最小值
∵DC+CE≥DE=

32+42

=5
∴

1

2

x2+4

+

y2+9

的最小值是5
故選D

點評：本題主要考查了函數最值的求法，利用構造法，賦予已知和結論以幾何意義，然后數形結合解決問題是解決本題的關鍵，屬中檔題