Question

某旅游區提倡低碳生活，在景區提供自行車出租．該景區有50輛自行車供游客租賃使用，管理這些自行車的費用是每日115元．根據經驗，若每輛自行車的日租金不超過6元，則自行車可以全部租出；若超出6元，則每超過1元，租不出的自行車就增加3輛．為了便于結算，每輛自行車的日租金x（元）只取整數，并且要求出租自行車一日的總收入必須高于這一日的管理費用，用y（元）表示出租自行車的日凈收入（即一日中出租自行車的總收入減去管理費用后的所得）．
（1）求函數y=f（x）的解析式及其定義域；
（2）試問當每輛自行車的日租金定為多少元時，才能使一日的凈收入最多？

Answer 1

【答案】分析：（1）利用函數關系建立各個取值范圍內的凈收入與日租金的關系式，寫出該分段函數，是解決該題的關鍵，注意實際問題中的自變量取值范圍；
（2）利用一次函數，二次函數的單調性解決該最值問題是解決本題的關鍵．注意自變量取值區間上的函數類型．應取每段上最大值的較大的即為該函數的最大值．
解答：解：（1）當x≤6時，y=50x-115，令50x-115＞0，
解得x＞2.3．
∵x∈N^*，∴x≥3，∴3≤x≤6，x∈N^*，
當x＞6時，y=[50-3（x-6）]x-115．
令[50-3（x-6）]x-115＞0，有3x²-68x+115＜0，
上述不等式的整數解為2≤x≤20（x∈N^*），
∴6＜x≤20（x∈N^*）．
故y=，
定義域為{x|3≤x≤20，x∈N^*}．
（2）對于y=50x-115（3≤x≤6，x∈N^*）．
顯然當x=6時，y_max=185（元），
對于y=-3x²+68x-115=-3 +（6＜x≤20，x∈N^*）．
當x=11時，y_max=270（元）．
∵270＞185，
∴當每輛自行車的日租金定在11元時，才能使一日的凈收入最多．
點評：本題考查學生的函數模型意識，注意分段函數模型的應用．將每一段的函數解析式找準相應的函數類型，利用相關的知識進行解決．