Question

（14分）已知其中是自然常數，

（1）討論時, 的單調性、極值;

（2）求證：在（1）的條件下，

（3）是否存在實數，使的最小值是3，如果存在，求出的值；如果不存在，說明理由。

Answer 1

解析：（1），

∴當時，，此時為單調遞減

當時，，此時為單調遞增

∴的極小值為                             （4分）

（2）的極小值，即在的最小值為1，∴

令

又，當時，在上單調遞減

∴                   （8分）

∴當時，

（3）假設存在實數，使有最小值3，，

①當時，由于，則

∴函數是上的增函數，

∴，解得（舍去）   （10分）

②當時，則當時，

此時是減函數

當時，，此時是增函數

∴，解得             （13分）

由①、②知，存在實數，使得當時有最小值3（14分）