Question

附加題：（本小題10分，實驗班同學必做，其他班學生選做）
是否存在常數a，使得函數f (x)＝sin²x＋acosx＋－在閉區間上的最大值為1？若存在，求出對應的a值；若不存在，說明理由．

Answer 1

存在a＝使得f (x)在閉區間上的最大值為1

解：f (x)＝sin²x＋acosx＋－
＝1－cos²x＋acosx＋－＝－cos²x＋acosx＋－   
＝－(cosx－a)²＋＋－                        
∵，∴0≤cosx≤1，                                  ………………1分
①      若＞1，即a＞2，則當cosx＝1時，f (x)取得最大值，
f (x)_最大值＝－(1－a)²＋＋－＝                 ……………3分
令＝1，解得＜2（舍去）                        ……………4分
②若0≤≤1，即0≤a≤2，則當cosx＝時，f (x)取得最大值，
f (x)_最大值＝－(a－a)²＋＋－＝＋－       ……………6分
令＋－＝1，解得或＜0（舍去）         ……………7分
③若＜0，即a＜0，則當cosx＝0時，f (x)取得最大值，
f (x)_最大值＝－(0－a)²＋＋－＝－              ……………8分
令－＝1，解得＞0（舍去）                     ……………9分
綜上，存在a＝使得f (x)在閉區間上的最大值為1        ……………10分