Question

已知f(x)是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)于任意的a、b∈R都滿足f(a·b)＝af(b)＋bf(a)．

(1)求f(0)，f(1)的值；

(2)判斷f(x)的奇偶性，并證明你的結(jié)論；

(3)若S_n表示數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．試問(wèn)：是否存在關(guān)于n的整式g(n)，使得S₁＋S₂＋S₃＋…＋S_n－1＝(S_n－1)·g(n)對(duì)于一切不小于2的自然數(shù)n恒成立？若存在，寫(xiě)出g(n)的解析式，并加以證明；若不存在，試說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)令a＝b＝0，得 　　令a＝b＝1，得，　　　　　　　　　2分; 　　(2)令 　　令 　　是奇函數(shù)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　5分; 　　(3)當(dāng) 　　令，　　　　　　7分 　　 　　 　　 　　 　　即，　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分 　　 　　 　　又S1＝1 　　 　　 　　故存在關(guān)于n的整式g(n)＝n，使等式對(duì)于一切不小于2的自然數(shù)n恒成立　12分