Question

已知函數f（x）=|x-1|+|x-2|．
（1）求函數f（x）的最小值；
（2）（文科）已知k為非零常數，若不等式|t-k|+|t+k|≥|k|f（x）對于任意t∈R恒成立，求實數x的取值集合；
（3）（理科）設不等式f（x）≤2的解集為集合A，若存在x∈A，使得x²+（1-a）x=-9求實數a的最小值．

Answer 1

分析：（1）先對函數進行化簡可得f（x）=

2x-3 (x＞2) 1      (1≤x≤2) 3-2x   (x＜1)

，結合函數的性質可求函數的最小值
（2）由|t-k|+|t+k|≥|（t-k）-（t+k）|=2|k|
（|t-k|+|t+k|）_min=2|k|
|t-k|+|t+k|≥|k|f（x）對于任意t∈R恒成立轉化為f（x）≤2  即|x-1|+|x-2|≤2，解絕對值不等式可得x的取值集合
（3）由（1）可得A=[

1

2

，

5

2

]，由x²+（1-a）x=-9得1-a=-

x2+9

x

=-(x+

9

x

)
結合函數x+

9

x

在x∈[

1

2

，

5

2

]上單調性 及

61

10

≤x+

9

x

≤

37

2

  從而有-

37

2

≤1-a≤-

61

10

，解不等式可求a的取值范圍，進而可求實數a的最小值

解答：解：（1）f（x）=

2x-3 (x＞2) 1      (1≤x≤2) 3-2x   (x＜1)

∴x＞2時，2x-3＞1；x＜1時，3-2x＞1；1≤x≤2時，f（x）=1
∴f（x）_min=1
（2）∵|t-k|+|t+k|≥|（t-k）-（t+k）|=2|k|
（|t-k|+|t+k|）_min=2|k|
問題轉化為f（x）≤2  即|x-1|+|x-2|≤2
顯然由

2x-3≤2 x＞2

 得2＜x≤

5

2

3-2x≤2 x＜1

 得

1

2

≤x＜1
∴實數x的取值集合為[

1

2

，

5

2

]
（3）A=[

1

2

，

5

2

]，由x²+（1-a）x=-9得1-a=-

x2+9

x

=-(x+

9

x

)
由函數x+

9

x

在x∈[

1

2

，

5

2

]上單調遞減∴

61

10

≤x+

9

x

≤

37

2

 
∴-

37

2

≤1-a≤-

61

10

∴

71

10

≤a≤

39

2

 故實數的最小值為

71

10

點評：（1）利用絕對值的幾何意義是解決本題的關鍵（2）不等式的恒成立往往轉化為求解函數的最值問題，（3）單調性的應用是解決此類問題的重要方法