Question

數列{a_n}的前n項和為S_n＝2a_n－2，數列{b_n}是首項為a₁，公差不為零的等差數列，且b₁，b₃，b₁₁成等比數列．
(1)求數列{a_n}與{b_n}的通項公式；
(2)求證： <5.

Answer 1

（1）b_n＝3n－1（2）見解析

(1)當n≥2時，a_n＝S_n－S_n－1＝(2a_n－2)－(2a_n－1－2)＝2a_n－2a_n－1，得a_n＝2a_n－1.
又由a₁＝S₁＝2a₁－2，得a₁＝2，所以數列{a_n}是以2為首項，2為公比的等比數列，
所以數列{a_n}的通項公式為a_n＝2ⁿ.
b₁＝a₁＝2，設公差為d，則由b₁，b₃，b₁₁成等比數列，得(2＋2d)²＝2×(2＋10d)，
解得d＝0(舍去)或d＝3，
所以數列{b_n}的通項公式為b_n＝3n－1.，
(2)證明：令T_n＝＝，①
2T_n＝2＋，②
②－①得
T_n＝2＋，
所以T_n＝，
又 >0，故T_n<5.