Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，已知（n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設，數列{b_n}的前n項和為B_n，若存在整數m，使對任意n∈N^*且n≥2，都有成立，求m的最大值；
（3）令，數列{c_n}的前n項和為T_n，求證：當n∈N^*且n≥2時，．

Answer 1

（1）由，得（n≥2）．
兩式相減，得，即（n≥2）．
于是，所以數列是公差為1的等差數列．（2分）
又，所以a₁=4．
所以，故．（4分）
（2）因為=，則．
令，則．
所以=．
即f（n+1）＞f（n），所以數列{f（n）}為遞增數列．（7分）
所以當n≥2時，f（n）的最小值為．
據題意，，即m＜19．又m為整數，故m的最大值為18．（8分）
（3）因為，則當n≥2時，==．（9分）
下面證
先證一個不等式，當x＞0時，
令，則，
∴g（x）在（0，+∞）時單調遞增，g（x）＞g（0）=0，即當x＞0時，
令，，，，…，
以上n個式相加，即有
∴． （14分）
分析：（1）由條件可得，再化為 ，可得數列是公差為1的等差數列，求出a₁的值，即可求得數列{a_n}的通項公式．
（2）因為=，則，令，化簡 f（n+1）-f（n），再用放縮法證明它大于零，可得
數列{f（n）}為遞增數列，由此求得它的最小值，由求得m的最大值．
（3）因為，則當n≥2時，化簡T_2n為，再通過證明當x＞0時，，來證明．
點評：本題主要考查等差關系的確定，數列與不等式綜合，數學歸納法的應用，屬于難題．