Question

設橢圓方程為x²+=1,過點M（0,1）的直線l交橢圓于點A、B，O是坐標原點，點P滿足=（+），點N的坐標為（，）.當l繞點M旋轉時，求：

（1）動點P的軌跡方程；

（2）||的最小值與最大值.

Answer 1

思路解析：（1）設出l的斜率k，根據題設條件列出方程組，解得P點的坐標（用k表示），消去參數k即得.（2）則可化為區間上二次函數的最值問題.

（1）解法一：直線l過點M（0,1），設其斜率為k，則l的方程為y=kx+1.

設A(x₁,y₁)、B（x₂,y₂）,由題設可得點A、B的坐標（x₁,y₁）、（x₂,y₂）是方程組

的解.

將（1）代入（2）并化簡,得（4+k²）x²+2kx-3=0,

所以

于是=（+）

=(,)=(,).

設點P的坐標為（x,y），則

消去參數k,得4x²+y²-y=0.                                                       （3）

當k不存在時，A、B中點為坐標原點（0，0），也滿足方程（3），所以點P的軌跡方程為4x²+y²-y=0.

解法二：設點P的坐標為（x,y），因A（x₁,y₁）、B(x₂,y₂)在橢圓上，

所以x₁²+=1,④,x₂²+=1.                                           ⑤

④-⑤,得x₁²-x₂²+(y₁²-y₂²)=0,

所以（x₁-x₂）(x₁+x₂)+(y₁-y₂)(y₁+y₂)=0.

當x₁≠x₂時，有x₁+x₂+(y₁+y₂)·=0,                      ⑥

并且                                                         ⑦

將⑦代入⑥并整理,得4x²+y²-y=0.                                              ⑧

當x₁=x₂時，點A、B的坐標為（0，2）、（0，-2），這時點P的坐標為（0，0）,也滿足⑧,所以點P的軌跡方程為+=1.

(2)解：由點P的軌跡方程知x²≤，即-≤x≤.

所以||²=(x-)²+(y-)²=(x-)²+-4x²

=-3(x+)²+,

故當x=時，||取得最小值，最小值為；

當x=-時，||取得最大值，最大值為.