Question

已知雙曲線x²－=1,過點A(2，1)的直線l與已知雙曲線交于P₁、P₂兩點.
(1)求線段P₁P₂的中點P的軌跡方程；
(2)過點B(1，1)能否作直線l′,使l′與已知雙曲線交于兩點Q₁、Q₂，且B是線段Q₁Q₂的中點?請說明理由.

Answer 1

(1) 中點P的軌跡方程是2x²－y²－4x+y=0.(2)見解析

(1)解法一:設點P₁、P₂的坐標分別為(x₁，y₁)、(x₂，y₂)，中點P的坐標為(x,y),則有x₁²－=1,x₂²－=1,兩式相減，得
2(x₁+x₂)(x₁－x₂)=(y₁+y₂)(y₁－y₂).
當x₁≠x₂,y≠0時,
由x₁+x₂=2x,y₁+y₂=2y,
得=.                                                                                                     ①
又由P₁、P₂、P、A四點共線，
得=.                                                                                                        ②
由①②得=,
即2x²－y²－4x+y=0.
當x₁=x₂時，x=2,y=0滿足此方程，故中點P的軌跡方程是2x²－y²－4x+y=0.
解法二:設點P₁、P₂、中點P的坐標分別為(x₁,y₁)、(x₂,y₂)、(x,y),
直線l的方程為y=k(x－2)+1,將l方程代入雙曲線x²－=1中，
得(2－k²)x²+2k(2k－1)x+2k²－3=0,
則x₁+x₂=,x₁x₂=,
y₁+y₂=k(x₁+x₂)+2－4k=.
于是             
當y≠0時，由①②得k=.將其代入①，整理得2x²－y²－4x+y=0.當l傾斜角為90°時，P點坐標為(2，0)仍滿足此方程，故中點P的軌跡方程為2x²－y²－4x+y=0.
(2)假設滿足題設條件的直線l′存在，Q₁、Q₂的坐標分別為(x₃,y₃)、(x₄,y₄),同(1)得2(x₃+x₄)(x₃－x₄)=(y₃+y₄)(y₃－y₄).
∵x₃+x₄=2,y₃+y₄=2,
∴=2(x₃≠x₄),
即l′的斜率為2.
∴l′的直線方程為y－1=2(x－1)，
即y=2x－1.
∵方程組無解，與假設矛盾,
∴滿足條件的直線l′不存在.