Question

曲線在矩陣的變換作用下得到曲線．
（Ⅰ）求矩陣；
（Ⅱ）求矩陣的特征值及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量．

Answer 1

（Ⅰ）矩陣；（Ⅱ）矩陣的特征值或．當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量為；當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量為．

試題分析：（Ⅰ）首先設(shè)曲線上的任一點(diǎn)在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下所得的點(diǎn)為，則由可得再由點(diǎn)在曲線上，把代入求得的值，即可得矩陣；（Ⅱ）由，可得矩陣的特征值，根據(jù)特征向量的求法，分別列出方程組，即可求得其對(duì)應(yīng)的特征向量．
試題解析：（Ⅰ）設(shè)曲線上的任一點(diǎn)在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下所得的點(diǎn)為，則由點(diǎn)在曲線上，得，再由，解得．3分
（Ⅱ）由，解得：或． 5分
當(dāng)時(shí)，由得對(duì)應(yīng)的特征向量為；當(dāng)時(shí)，由得對(duì)應(yīng)的特征向量為．7分