Question

（2013•松江區二模）已知數列{an}(n∈N*)的前n項和為S_n，數列{

Sn

n

}是首項為0，公差為

1

2

的等差數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設bn=

4

15

•(-2)an(n∈N*)，對任意的正整數k，將集合{b_2k-1，b_2k，b_2k+1}中的三個元素排成一個遞增的等差數列，其公差為d_k，求d_k；
（3）對（2）題中的d_k，設A（1，5d₁），B（2，5d₂），動點M，N滿足

MN

=

AB

，點N的軌跡是函數y=g（x）的圖象，其中g（x）是以3為周期的周期函數，且當x∈（0，3]時，g（x）=lgx，動點M的軌跡是函數f（x）的圖象，求f（x）．

Answer 1

分析：（1）由條件得Sn=

n

2

(n-1)，再根據前n項和與通項之間的關系即可求出數列{a_n}的通項公式；
（2）由（1）可知bn=

4

15

•(-2)n-1(n∈N*)，從而b2k-1=

4

15

(-2)2k-2=

4

15

•22k-2，b2k=

4

15

(-2)2k-1=-

4

15

•22k-1b2k+1=

4

15

(-2)2k=

4

15

•22k．最后由2b_2k-1=b_2k+b_2k+1及b_2k＜b_2k-1＜b_2k+1得b_2k，b_2k-1g（x），b_2k+1依次成遞增的等差數列，即可求出公差為d_k；
（3）由（2）得A（1，4），B（2，16），即

MN

=

AB

=（1，12）設當3m＜x≤3（m+1）（m∈Z），有0＜x-3m≤3，由是以3為周期的周期函數得，g（x）=g（x-3m）=lg（x-3m），再設M（x，y）是函數圖象上的任意點，并設點N的坐標為（x_N，y_N），利用向量相等得到

xN-x=1 yN-y=12

，從而建立坐標之間的關系，即可求出求f（x）．

解答：解：（1）由條件得

Sn

n

=0+(n-1)

1

2

，即Sn=

n

2

(n-1)
所以an=n-1(n∈N*)．
（2）由（1）可知bn=

4

15

•(-2)n-1(n∈N*)，
所以b2k-1=

4

15

(-2)2k-2=

4

15

•22k-2，b2k=

4

15

(-2)2k-1=-

4

15

•22k-1b2k+1=

4

15

(-2)2k=

4

15

•22k．
由2b_2k-1=b_2k+b_2k+1及b_2k＜b_2k-1＜b_2k+1得b_2k，b_2k-1g（x），b_2k+1依次成遞增的等差數列，
所以dk=b2k+1-b2k-1=

4

15

•22k-

4

15

•22k-2=

4k

5

．
（3）由（2）得A（1，4），B（2，16），即

MN

=

AB

=（1，12）
當3m＜x≤3（m+1）（m∈Z）時，g（x）=lg（x-3m），（0＜x-3m≤3），
由y=g（x）是以3為周期的周期函數得，g（x）=g（x-3m）=lg（x-3m），
設M（x，y）是函數圖象上的任意點，并設點N的坐標為（x_N，y_N），
則

xN-x=1 yN-y=12

．
而y_N=lg（x_N-3m），（3m＜x_N≤3m+3（m∈Z）），
于是，y+12=lg（x+1-3m），（3m＜x+1≤3m+3（m∈Z）），
所以，f（x）=lg（x+1-3m）-12，（3m-1＜x≤3m+2（m∈Z））．

點評：本題考查等差數列、數列與函數的綜合，考查運算求解能力，推理論證能力，考查化歸與轉化思想．解題時要認真審題，仔細解答．