Question

曲線N：y²=2px（p＞0）的焦點到準線的距離為．
（1）求曲線N；
（2）過點T（-1，0）作直線l與曲線N交于A、B兩點，在x軸上是否存在一點E（x，0），使得△ABE是等邊三角形，若存在，求出x；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據拋物線的定義可知點F（，0）為拋物線的焦點，x=-為其準線，設出拋物線的方程，根據焦點坐標求得p，則拋物線方程可得．
（2）對于存在性問題，可先假設存在，即假設x軸上存在滿足條件的點Ex，0），再利用△ABC為正三角形，求出AB，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．
解答：解：（1）據拋物線的定義可知點F（，0）為拋物線的焦點，x=-為其準線，
∴p=，
∴曲線N：y²=x（3分）
（2）依題意知，直線的斜率存在，且不等于0．
設直線l：y=k（x+1），k≠0，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由消y整理，得k²x²+（2k²-1）x+k²=0①
由直線和拋物線交于兩點，得△=（2k²-1）²-4k⁴=-4k²+1＞
0即②（5分）
由韋達定理，得：，x₁x₂=1．
∴
則線段AB的中點為．（8分）
線段的垂直平分線方程為：
令y=0，得，則（10分）
∵△ABE為正三角形，
∴到直線AB的距離d為．（11分）
又∵=
∴
解得滿足②式（13分）
此時．（14分）
點評：本題主要考查了拋物線的簡單性質，直線與拋物線的關系，拋物線的標準方程．考查了學生分析問題和運算能力的．