Question

先閱讀下列不等式的證法：
已知a₁，a₂∈R，a₁²+a₂²=1，求證：|a₁+a2|≤

2

．
證明：構造函數f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²，則f（x）=2x²-2（a₁+a₂）x+1，因為對一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△=4（a₁+a₂）²-8≤0，故得|a₁+a2|≤

2

．
再解決下列問題：
（1）若a₁，a₂，a₃∈R，a₁²+a₂²+a₃²=1，求證|a₁+a2+a3|≤

3

；
（2）試將上述命題推廣到n個實數，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）構造函數f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²+（x-a₃）² ，因為對一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以，△≤0，故得|a₁+a₂+a3|≤

3

．
（2）推廣：若a₁，a₂，…，a_n∈R，a₁²+a₂²+…+a_n²=1，則|a₁+a₂+…+an|≤

n

．構造函數f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²+…+（x-a_n）²，因為對一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△≤0，可得|a1+a2+…+an|≤

n

．

解答：解：（1）證明：構造函數f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²+（x-a₃）²（2分）
則f（x）=3x²-2（a₁+a₂+a₃）x+a₁²+a₂²+a₃²=3x²-2（a₁+a₂+a₃）x+1（2分）
因為對一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△=4（a₁+a₂+a₃）²-12≤0，
故得|a₁+a₂+a3|≤

3

．      （2分）
（2）推廣：若a₁，a₂，…，a_n∈R，a₁²+a₂²+…+a_n²=1，則|a₁+a₂+…+an|≤

n

．   （2分）
證明：構造函數f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²+…+（x-a_n）²，
則f（x）=nx²-2（a₁+a₂+…+a_n）x+a₁²+a₂²+…+a_n²=nx²-2（a₁+a₂+…+a_n）x+1．
因為對一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△=4（a₁+a₂+…+a_n）²-4n≤0，
故得|a1+a2+…+an|≤

n

．      （2分）

點評：本題考查利用構造法、綜合法證明不等式，構造二次函數f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²+…+（x-a_n）²，是解題的關鍵和難點，是一道難題．