Question

三棱錐S—ABC中，一條棱長為a,其余棱長均為1，求a為何值時V_S—ABC最大，并求最大值.

Answer 1

a為時，三棱錐的體積最大為

 方法一 如圖所示，
設SC=a，其余棱長均為1，
取AB的中點H，連接HS、HC，
則AB⊥HC，AB⊥HS，
∴AB⊥平面SHC.
在面SHC中，過S作SO⊥HC，則SO⊥平面ABC.
在△SAB中，SA=AB=BS=1，
∴SH=，
設∠SHO=，則SO=SHsin=sin，
∴V_S—ABC=S_△ABC·SO
=××1²×sin
=sin≤.
當且僅當sin=1，即=90°時，三棱錐的體積最大.
a=SH=×=，V_max=.
∴a為時，三棱錐的體積最大為.
方法二 取SC的中點D，可通過V_S—ABC=S_△ABD·SC，轉化為關于a的目標函數的最大值問題，利用基本不等式或配方法解決.