Question

將函數y=f（x）的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的

1

2

（縱坐標不變），再向左平移

π

12

個單位后，得到的圖象與函數g（x）=sin2x的圖象重合．
（1）寫出函數y=f（x）的圖象的一條對稱軸方程；
（2）若A為三角形的內角，且f（A）=

1

3

•，求g（

A

2

）的值．

Answer 1

分析：（1）由題意可知將函數g（x）=sin2x的圖象向右平移

π

12

個單位，再將橫坐標伸長到原來的2倍即可得的到f（x）的圖象可得f（x）=sin（x-

π

6

），令x-

π

6

=kπ+

π

2

可求答案．
（2）由f（A）=

1

3

可得，sin（A-

π

6

)=

1

3

=

1

3

結合已知0＜A＜π，且0＜sin（A-

π

6

)=

1

3

=

1

3

＜

1

2

可得0＜A-

π

6

＜

π

2

從而可求得cos（A-

π

6

）=

2 2

3

而g(

A

2

) =sinA=sin[(A-

π

6

)+

π

6

]=

1

2

cos(A-

π

6

)+

3

2

sin(A-

π

6

)代入可求答案．

解答：解：（1）由題意可知將函數g（x）=sin2x的圖象向右平移

π

12

個單位，
再將橫坐標伸長到原來的2倍即可得的到f（x）的圖象，
∴f（x）=sin（x-

π

6

）
由x-

π

6

=kπ+

π

2

得x=kπ+

2π

3

，k∈Z
∴x=kπ+

2π

3

，k∈Z
（2）由f（A）=

1

3

可得，sin（A-

π

6

)=

1

3

=

1

3

∵0＜A＜π，且0＜sin（A-

π

6

)=

1

3

=

1

3

＜

1

2

0＜A-

π

6

＜

π

2

∴cos（A-

π

6

）=

2 2

3

g(

A

2

) =sinA=sin[(A-

π

6

)+

π

6

]=

1

2

cos(A-

π

6

)+

3

2

sin(A-

π

6

)=

2 2 + 3

6

．

點評：本題考查了函數的平移及周期變換，三角函數的性質的應用，及利用拆角的技巧求解三角函數值等知識的綜合運用，考查了推理運算的能力．屬于中檔試題．