Question

（本小題滿分13分）
已知數列滿足，且當時，，令．
（Ⅰ）寫出的所有可能的值；
（Ⅱ）求的最大值；
（Ⅲ）是否存在數列，使得？若存在，求出數列；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）的所有可能的值為：，，，，．（2）的最大值為；（3）.

第一問中，根據題意可知當i=5時，滿足條件的數列的所有可能情況有
，分別結算得到的值
第二問中，因為遞推關系可知由，
可設，則或（，），
那么借助于累加法的思想得到數列的通項公式
第三問中，由（Ⅱ）可知，如果的前項中恰有項取，的后項中恰有項取，則，可知分析得到結論。
解:（Ⅰ）由題設，滿足條件的數列的所有可能情況有：
（1）此時；（2）此時；
（3）此時；（4）此時；
（5）此時；（6）此時；
所以，的所有可能的值為：，，，，．       ……4分
（Ⅱ）由，
可設，則或（，），
因為，所以
．
因為，所以，且為奇數，是由
個1和個構成的數列
所以
．
則當的前項取，后項取時最大，
此時．
證明如下：
假設的前項中恰有項取，則
的后項中恰有項取，其中，
，，．
所以


．
所以的最大值為．                          ……9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，如果的前項中恰有項取，的后項中恰有項取，則，若，則，因為是奇數，所以是奇數，而是偶數，因此不存在數列，使得．                                       ……13分