Question

某同學在研究函數f（x）=

2x

|x|+1

（x∈R）時，給出下列結論：
①f（-x）+f（x）=0對任意x∈R成立；
②函數f（x）的值域是（-2，2）；
③若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂）；
④函數g（x）=f（x）-2x在R上有三個零點．
則正確結論的序號是（　　）

A．②③④

B．①③④

C．①②③

D．①②③④

Answer 1

分析：分析函數的奇偶性，可判斷①；利用分類討論和分離常數法，求出函數的值域，可判斷②；判斷函數的單調性，可判斷③；求出函數g（x）=f（x）-2x在R上零點個數，可判斷④．

解答：解：∵函數f（x）=

2x

|x|+1

（x∈R）
∴f（-x）=

-2x

|-x|+1

=-

2x

|x|+1

，故f（-x）+f（x）=0恒成立，故①正確；
當x≥0時，f（x）=

2x

x+1

=2+

-2

x+1

∈[0，2）
當x＜0時，f（x）=

2x

-x+1

=-2+

2

-x+1

=-2-

2

x-1

∈（-2，0）
故函數f（x）的值域是（-2，2），故②正確；
函數f（x）=

2x

|x|+1

在定義域上為增函數，故x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂），故③正確；
函數g（x）=f（x）-2x=

2x

|x|+1

-2x，當且僅當x=0時，g（x）=0，
故函數g（x）=f（x）-2x在R上只有一個零點，故④錯誤
故函數g（x）=f（x）-2x在R上有三個零點①②③
故選C

點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了函數的奇偶性，值域，單調性，零點等知識點，熟練掌握函數的圖象和性質是解答本題的關鍵．