Question

已知定義在R上的二次函數R（x）=ax²+bx+c滿足2 ^R（﹣x）﹣2 ^R（x）=0，且R（x）的最小值為0，函數h（x）=lnx，又函數f（x）=h（x）﹣R（x）．
（I）求f（x）的單調區間； 
（II）當a≤時，若x₀∈[1，3]，求f（x₀）的最小值；
（III）若二次函數R（x）圖象過（4，2）點，對于給定的函數f（x）圖象上的點A（x₁，y₁），當時，探求函數f（x）圖象上是否存在點B（x₂，y₂）（x₂＞2），使A、B連線平行于x軸，并說明理由．（參考數據：e=2.71828…）

Answer 1

解：（I）∵定義在R上的二次函數R（x）=ax²+bx+c滿足2 ^R（﹣x）﹣2 ^R（x）=0，
∴2 ^R（﹣x）﹣2 ^R（x）=0，
∴2 ^R（﹣x）=2^R（x），即R（﹣x）=R（x），
∵R（x）=ax²+bx+c，
∴b=0，
∴R（x）=ax²+c．
∵R（x）=ax²+c的最小值為0，
∴a＞0，c=0，故R（x）=ax²，
∵R（x）=ax²，h（x）=lnx，f（x）=h（x）﹣R（x），
∴f（x）=lnx﹣ax²，，
令f'（x）=0，解得．
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

f（x）的單調遞減區間是（，+∞）．
（II）∵當0＜a≤時，≥1，
∴x₀∈[1，3]時，f（x₀）的最小值為f（1）與f（3）中的較小者．
又f（1）=﹣a，f（3）=1n3﹣9a，f（1）﹣f（3）=﹣a﹣（ln3﹣9a）=8a﹣1n3．
∴當0＜a≤時，f（1）≤f（3），f（x₀）的最小值﹣a；
當時，f（1）＞f（3），f（x₀）的最小值ln3﹣9a．
（III）證明：若二次函數R（x）=ax²圖象過（4，2）點，則，
所以．
令．
由（I）知f（x）在（0，2）內單調遞增，
故，即g（2）＞0．
取，則．
所以存在，使g（x₂）=0，
故存在x₂∈（2，+∞），使．
所以函數f（x）圖象上存在點B（x₂，y₂）（x₂＞2），使A、B連線平行于x軸．