Question

已知定義在R上的函數f（x），g（x）滿足f（x）g（x）=a^x，且f′（x）g（x）+f（x）•g′（x）＜0，f（1）g（1）+f（-1）g（-1）=

10

3

，若有窮數列{f（n）g（n）}（n∈N^*）的前n項和等于

40

81

，則n等于______．

Answer 1

由（f（x）g（x））′=f′（x）g（x）+f（x）•g′（x）＜0，
即a^xlna＜0，故0＜a＜1．
由f（1）g（1）+f（-1）g（-1）=

10

3

，
得a+

1

a

=

10

3

，解得a=

1

3

，
∴有窮數列{f（n）g（n）}（n∈N^*）是等比數列，其前n項和S_n=

1 3 (1-( 1 3 )n)

1- 1 3

=

40

81

，
得n=4．
故答案為：4．