Question

【題目】當前，以“立德樹人”為目標的課程改革正在有序推進.高中聯招對初三畢業學生進行體育測試，是激發學生、家長和學校積極開展體育活動，保證學生健康成長的有效措施.某地區2019年初中畢業生升學體育考試規定，考生必須參加立定跳遠、擲實心球、1分鐘跳繩三項測試，三項考試滿分為50分，其中立定跳遠15分，擲實心球15分，1分鐘跳繩20分.某學校在初三上期開始時要掌握全年級學生每分鐘跳繩的情況，隨機抽取了100名學生進行測試，得到如下頻率分布直方圖，且規定計分規則如下表：

每分鐘跳 繩個數
得分	16	17	18	19	20

（Ⅰ）現從樣本的100名學生中，任意選取2人，求兩人得分之和不大于33分的概率；

（Ⅱ）若該校初三年級所有學生的跳繩個數服從正態分布，用樣本數據的平均值和方差估計總體的期望和方差（結果四舍五入到整數），已知樣本方差（各組數據用中點值代替）.根據往年經驗，該校初三年級學生經過一年的訓練，正式測試時每人每分鐘跳繩個數都有明顯進步，假設明年正式測試時每人每分鐘跳繩個數比初三上學期開始時個數增加10個，利用現所得正態分布模型：

（ⅰ）預估全年級恰好有1000名學生，正式測試時每分鐘跳193個以上的人數.（結果四舍五入到整數）

（ⅱ）若在該地區2020年所有初三畢業生中任意選取3人，記正式測試時每分鐘跳202個以上的人數為，求隨機變量的分布列和期望.

附：若隨機變量服從正態分布，，則，

，

Answer 1

【答案】（Ⅰ）,（Ⅱ）（ⅰ）,（ⅱ）分布列見解析 ,

【解析】

（Ⅰ）根據頻率分布直方圖計算，每分鐘跳繩個數的人數為（人）每分鐘跳繩個數的人數為（人），由題意可知，兩人得分之和不大于33分，即兩人得分均為16分，或兩人中1人16分，1人17分，根據互斥事件概率加法公式，計算即可.

（Ⅱ）根據頻率分布直方圖計算樣本的均值，可知正式測試時期望的估計值，方差，計算，，（ⅰ）根據正態分布的對稱性，計算，求解人數即可. （ⅱ）由正態分布模型，在該地區2020年初三畢業生中任取1人，每分鐘跳繩個數202以上的概率為，則服從二項分布，即，計算分布列和期望，即可.

（Ⅰ）由題意可知，得16分的人數為5人，得17分的人數為9人，兩人得分之和不大于33分，即兩人得分均為16分，或兩人中1人16分，1人17分.

所以，兩人得分之和不大于33分的概率為：.

（Ⅱ）（個）

又，，所以正式測試時，，.

∴，.

（ⅰ）∴，∴（人）.

（ⅱ）由正態分布模型，在該地區2020年初三畢業生中任取1人，每分鐘跳繩個數202以上的概率為，即.

∴，，

，，

∴的分布列為

	0	1	2	3

.