Question

如圖，傾斜角為a的直線經過拋物線的焦點F，且與拋物線交于A、B兩點。

（Ⅰ）求拋物線的焦點F的坐標及準線l的方程；

（Ⅱ）若a為銳角，作線段AB的垂直平分線m交x軸于點P，證明|FP|-|FP|cos2a為定值，并求此定值。

Answer 1

（Ⅰ）解：設拋物線的標準方程為，則，從而

因此焦點的坐標為（2，0）.

又準線方程的一般式為。

從而所求準線l的方程為。

（Ⅱ）解法一：如圖作AC⊥l，BD⊥l，垂足為C、D，則由拋物線的定義知

|FA|=|FC|,|FB|=|BD|.

記A、B的橫坐標分別為x_xx_z，則

|FA|＝|AC|＝解得，

類似地有，解得。

記直線m與AB的交點為E，則

     所以。

故。

解法二：設，，直線AB的斜率為，則直線方程為。

將此式代入,得，故。

記直線m與AB的交點為，則

，

，

故直線m的方程為.

令y=0,得P的橫坐標故

。

從而為定值。