Question

已知橢圓、拋物線的焦點均在軸上，的中心和的頂點均為原點，從每條曲線上取兩個點，將其坐標記錄如下：、、、．

（1）經判斷點，在拋物線上，試求出的標準方程；

（2）求拋物線的焦點的坐標并求出橢圓的離心率；

（3）過的焦點直線與橢圓交不同兩點且滿足，試求出直線的方程．

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）或.

【解析】

試題分析：（1）先設拋物線，然后將或代入可得，從而確定了的方程，也進一步確定、不在上，只能在上；設：，把點、代入得，求解即可確定的方程；（2）由（1）中所求得的方程不難得到的焦點及橢圓的離心率；（3）先假設所求直線的方程（或，不過此時要先驗證直線斜率不存在的情況），然后聯立直線與橢圓的方程，消去消去，得，得到，再得到，要使，只須，從中求解即可得到，從而可確定直線的方程.

試題解析：（1）設拋物線，則有，而、在拋物線上 2分

將坐標代入曲線方程，得 3分

設：，把點、代入得

解得

∴方程為 6分

（2）顯然，，所以拋物線焦點坐標為

由（1）知，，

所以橢圓的離心率為 8分

（3）法一：直線過拋物線焦點，設直線的方程為，兩交點坐標為，

由消去，得 10分

∴①

② 12分

由，即，得

將①②代入（*）式，得，解得 14分

所求的方程為：或 15分

法二：容易驗證直線的斜率不存在時，不滿足題意 9分

當直線斜率存在時，直線過拋物線焦點，設其方程為，與的交點坐標為

由消掉，得， 10分

于是，①

即② 12分

由，即，得

將①、②代入（*）式，得

解得 14分

故所求的方程為或 15分.

考點：1.拋物線的標準方程及其幾何性質；2.橢圓的標準方程及其幾何性質；3.直線與圓錐曲線的綜合問題.