Question

已知函數f(x)=ax2-2

4+2b-b2

x，g(x)=-

1-(x-a)2

（a，b∈R）．
（1）當b=0時，若f（x）在（-∞，2]上單調遞減，求a的取值范圍；
（2）求滿足下列條件的所有整數對（a，b）：存在x₀，使得f（x₀）是f（x）的最大值，g（x₀）是g（x）的最小值；
（3）對滿足（2）中的條件的整數對（a，b），奇函數h（x）的定義域和值域都是區間[-k，k]，且x∈[-k，0]時，h（x）=f（x），求k的值．

Answer 1

分析：（1）當b=0時，若f（x）在（-∞，2]上單調遞減，則此區間必是函數定義上單調遞減區間的子集，由此可以求出a的取值范圍
（2）研究兩個函數的最值，由于g(x)=-

1-(x-a)2

在x=a時取到最小值，故求出f(x)=ax2-2

4+2b-b2

x取最大值的x₀，令其等于a．
（3）由題設條件，根據奇函數的性質求出h（x）在[-k，k]上的解析式，再根據其定義域和值域都是區間[-k，k]，即可得到關于k的等式求出k的值．

解答：解：（1）當b=0時，f（x）=ax²-4x
若a=0，則f（x）=-4x符合條件，
若a≠0，則

a＞0 4 2a ≥2

∴0＜a≤1，a的取值范圍0≤a≤1
（2）a=0時，f(x)無最大值∴a≠0必有

a＜0 4+2a-b2≥0

?

a＜0 1- 5 ≤b≤1+ 5

于是x0=a=

4+2b-b2

a

，則a2=

5-(b-1)2

，
∴a=-1，b=-1或3
因此符合條件的整數對為（-1，-1）和（-1，3）．
（3）對于（2）的整數對（a，b），f（x）=-x²-2x，（7）當x∈[0，k]時，h（x）=-h（-x）=-f（-x）=x²-2x

∴h(x)= -x2-2x，-k≤x≤0 x2-2x，0＜x≤k ，由x2-2x=x，得x=3，由-x2-2x=x，得x=-3. 由圖象可知，x∈[-1，1]時，h(x)∈[-1，1] x∈[-3，3]時，h(x)∈[-3，3] ∴k=1或k=3

點評：本題考點是函數的最值及其幾何意義，解此類題的關鍵是正確判斷函數的單調性，確定函數的最值在什么位置取到，求解中要注意到函數的特殊性，如本題中g(x)=-

1-(x-a)2

的最值根據觀察得出．靈活選用判斷方法，可以降低解題的難度．