Question

在直角坐標系xOy中，點M(2，-

1

2

)，點F為拋物線C：y=mx²（m＞0）的焦點，線段MF恰被拋物線C平分．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）過點M作直線l交拋物線C于A，B兩點，設直線FA、FM、FB的斜率分別為k₁、k₂、k₃，問k₁，k₂，k₃能否成公差不為零的等差數列？若能，求直線l的方程；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）確定焦點F的坐標、線段MF的中點坐標，代入拋物線方程，即可求m的值；
（Ⅱ）設出l方程與拋物線方程聯立，利用韋達定理，及k₁，k₂，k₃能成公差不為零的等差數列，可得方程，即可求得直線l的方程．

解答：解：（Ⅰ）焦點F的坐標為(0，

1

4m

)，線段MF的中點N(1，

1

8m

-

1

4

)在拋物線C上，
∴

1

8m

-

1

4

=m，∴8m²+2m-1=0，∴m=

1

4

（m=-

1

2

舍）．  …（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：拋物線C：x²=4y，F（0，1）．
設l方程為：y+

1

2

=k(x-2)，A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
則由

y+ 1 2 =k(x-2) x2=4y

得：x²-4kx+8k+2=0，△=16k²-4（8k+2）＞0，
解得k＜

2- 6

2

或k＞

2+ 6

2

． 
由韋達定理可得，

x1+x2=4k x1x2=8k+2

，…（8分）
假設k₁，k₂，k₃能成公差不為零的等差數列，則k₁+k₃=2k₂．
而k1+k3=

y1-1

x1

+

y2-1

x2

=

x2y1+x1y2-x2-x1

x1x2

=

x2x12 4 + x1x22 4 -x2-x1

x1x2

=

( x1x2 4 -1)(x1+x2)

x1x2

=

( 8k+2 4 -1)•4k

8k+2

=

4k2-k

4k+1

，…（11分）
∵k2=-

3

4

，∴

4k2-k

4k+1

=-

3

2

，8k²+10k+3=0，解得：k=-

1

2

＜

2- 6

2

（符合題意），k=-

3

4

（此時直線l經過焦點F，k₁=k₂=k₃，不合題意，舍去），…（14分）
直線l的方程為y+

1

2

=-

1

2

(x-2)，即x+2y-1=0．
故k₁，k₂，k₃能成公差不為零的等差數列，直線l的方程為：x+2y-1=0． …（15分）

點評：本題考查拋物線的標準方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．