Question

長沙市將河西作為環境友好型和資源節約型的兩型社會先導區，為加強先導區的建設，要改造楓林路，如圖所示，規劃沿路修建圓形休閑廣場，圓心為O，半徑為100米，其與楓林路一邊所在的直線l相切于M點，A為上半圓弧上一點．過點A作l的垂線，垂足為B，市園林局計劃在△ABM內進行綠化，設△ABM的面積為S（單位：平方米）
（Ⅰ）以∠AON=θ（rad）為參數，將S表示成θ的函數；
（Ⅱ）為使綠化的面積最大，試確定此時點A的位置及其最大的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角函數的定義求出BM，AB的長，利用三角形的面積公式求出△ABM的面積S
（Ⅱ）對S求導，令導函數為0求出根，判斷根左右兩邊導函數的符號，求出S的最大值．

解答：解：（Ⅰ）BM=AOsinθ=100sinθ，AB=MO+AOcosθ=100+100cosθ    θ∈（0，π）
則S=

1

2

MB•AB=

1

2

×100sinθ×（100+100cosθ）
=5000sinθ（1+cosθ）
（Ⅱ）s′=5000（2cos²θ-cosθ-1）=5000（2cosθ-1）（cosθ-1）
令S′=0得cosθ=

1

2

，cosθ=-1（舍去），此時θ=

π

3

當θ∈(0，

π

3

)時，S′＞0；
∴當θ=

π

3

時，S取得極大值，即S_最大值=3750

3

(m2)
答：當AO與ON成60°角時，綠化面積最大，最大面積為3750

3

m²

點評：本題考查三角函數的定義、利用導數求函數的最值：求導函數；令導函數等于0求根；判斷根左右兩邊的符號求出極值．