Question

在平面直角坐標系xOy中，F是拋物線C：x²＝2py(p>0)的焦點，M是拋物線C上位于第一象限內的任意一點，過M，F，O三點的圓的圓心為Q，點Q到拋物線C的準線的距離為.
(1)求拋物線C的方程；
(2)是否存在點M，使得直線MQ與拋物線C相切于點M？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）x²＝2y   （2）存在，M(，1)

(1)依題意知F(0，)，圓心Q在線段OF的垂直平分線y＝上，
因為拋物線C的準線方程為y＝－，
所以＝，即p＝1.
因此拋物線C的方程為x²＝2y.
(2)假設存在點M(x₀，)(x₀>0)滿足條件，拋物線C在點M處的切線斜率為y′|x＝x₀＝()′|x＝x₀＝x₀，
所以直線MQ的方程為y－＝x₀(x－x₀)．
令y＝得x_Q＝＋，
所以Q(＋，)．
又|QM|＝|OQ|，
故(－)²＋(－)²＝(＋)²＋，
因此(－)²＝.
又x₀>0，所以x₀＝，此時M(，1)．
故存在點M(，1)，使得直線MQ與拋物線C相切于點M.