Question

（幾何證明選講）解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．△ABC中，AB＜AC，AD、AE分別是BC邊上的高和中線，且∠BAD=∠EAC．證明∠BAC是直角．

Answer 1

分析：取AC中點(diǎn)F，連EF、DF，由三角形的中位線定理，易得EF∥AB，結(jié)合∠BAD=∠EAC易得∠EAB=∠DAC，∠ADF=∠DAC，進(jìn)而得到A、D、E、F四點(diǎn)共圓，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到EF⊥AC，進(jìn)而AB⊥AC，即得到結(jié)論．

解答：證明：如圖，取AC中點(diǎn)F，連EF、DF，EF為三角形△ABC得中位線，故有EF∥AB，∠AEF=∠EAB．①
又由∠BAD=∠EAC，所以∠EAB=∠DAC．②
因AD是BC邊上的高，則△ADC是直角三角形，則DF=AF．于是∠ADF=∠DAC．…③
聯(lián)合①、②，得∠ADF=∠AEF，由此，得A、D、E、F四點(diǎn)共圓．
于是，∠AFE=180°-∠ADE=90°．因∠BAC+∠AFE=180°，故∠BAC=90°
最后一步，也可由：AD⊥BC得EF⊥ACC從而AB⊥AC，得∠BAC=90°．
又取AC的中點(diǎn)F，連EF，也可證得∠BAC=90°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是四點(diǎn)共圓的判定與性質(zhì)，其中添加適當(dāng)?shù)妮o助線，并根據(jù)已知條件得到A、D、E、F四點(diǎn)共圓，是解答本題的關(guān)鍵．