Question

（選修4-2：矩陣與變換）
已知矩陣A=，若矩陣A屬于特征值6的一個特征向量為α₁=，屬于特征值1的一個特征向量為α₂=．
①求矩陣A；②求直線y=x+2在矩陣A的作用下得到的曲線方程．

Answer 1

【答案】分析：①根據特征值的定義可知Aα=λα，利用待定系數法建立四個等式關系，解二元一次方程組即可．
②設直線y=x+2上任意一點（x，y），（x'，y'）是所得的直線上一點，根據矩陣變換特點，寫出兩對坐標之間的關系，把已知的點的坐標用未知的坐標表示，代入已知直線的方程，得到結果．
解答：解：①由矩陣A屬于特征值6的一個特征向量為 可得   =6 ，
即 ；
由矩陣A屬于特征值1的一個特征向量為 ，可得   =，
即
解得 ，即矩陣 ．
②設y=x+2上一點（x，y）在A作用下變為（x′，y′），
則 =，
∴，
∴，∴，
∵y=x+2，代入得 ，
化簡，得y′=x′+2，
∴變換后的直線方程是：y=x+2．
點評：本題主要考查了二階矩陣，以及特征值與特征向量的計算，考查矩陣的變換，屬于基礎題．