已知橢圓
的一個頂點和兩個焦點構成的三角形的面積為4．
（1）求橢圓
的方程；
（2）已知直線
與橢圓交于
、
兩點，試問，是否存在
軸上的點
，使得對任意的
，
為定值，若存在，求出
點的坐標，若不存在，說明理由.
（1）
；（2）存在點
使得為定值.
解析試題分析：（1）橢圓的標準方程是
，則本題中有
，已知三角形的面積為4，說明
，這樣可以求得
；（2）存在性命題的解法都是假設存在，然后想辦法求出
.下面就是想法列出關于的方程，本題是直線與橢圓相交問題，一般方法是設交點為
，把直線方程
代入橢圓方程交化簡為
，則有
，
，而
，就可用
表示，這個值為定值，即與
無關，分析此式可得出結論．．
試題解析：（1）設橢圓的短半軸為
，半焦距為
，
則，由
得
，
由
解得
,則橢圓方程為. （6分）
（2）由
得
設
由韋達定理得：
=
=
=
， （10分）
當
，即
時，
為定值，所以，存在點使得為定值（14分）．
考點：（1）橢圓的標準方程；（2）直線與橢圓相交問題．
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知動圓
與圓
相切，且與圓
相內切，記圓心的軌跡為曲線
；設
為曲線上的一個不在
軸上的動點，
為坐標原點，過點
作
的平行線交曲線于
兩個不同的點.
（1）求曲線的方程；
（2）試探究
和
的比值能否為一個常數？若能，求出這個常數，若不能，請說明理由；
（3）記
的面積為
，
的面積為
，令
，求
的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓
的離心率為
，過橢圓右焦點
作兩條互相垂直的弦
與
．當直線斜率為0時，
．
（1）求橢圓的方程；
（2）求
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的離心率
，且直線
是拋物線
的一條切線.
（1）求橢圓的方程；
（2）點P 
為橢圓上一點，直線
，判斷l與橢圓的位置關系并給出理由；
（3）過橢圓上一點P作橢圓的切線交直線
于點A，試判斷線段AP為直徑的圓是否恒過定點，若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C：
(a>b>0)的離心率為
，且橢圓C上一點與兩個焦點F1，F2構成的三角形的周長為2
+2．
(1)求橢圓C的方程；
(2)過右焦點F2作直線l 與橢圓C交于A，B兩點，設
，若
，求
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
：
（
）的右焦點為
，且橢圓過點
．
（1）求橢圓的方程；
（2）設斜率為
的直線
與橢圓交于不同兩點
、
，以線段
為底邊作等腰三角形
，其中頂點
的坐標為
，求△的面積．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，設Ｐ是圓
上的動點，點Ｄ是Ｐ在
軸上投影，Ｍ為PD上一點，且
．
（1）當P在圓上運動時，求點M的軌跡C的方程；
（2）求過點（3，0）且斜率為
的直線被C所截線段的長度．
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是橢圓
上兩點，點
的坐標為
.
關于點
對稱時，求證：
；
經過點
時，求證：
不可能為等邊三角形.
與兩定點
、
構成
，且
，設動點
．
與
軸相交于點
，與軌跡
，且
，求
的取值范圍．