Question

（本小題滿分10分）選修4-1:幾何證明選講
如圖，的角平分線的延長(zhǎng)線交它的外接圓于點(diǎn).
（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）若的面積,求的大小.

Answer 1

（Ⅰ）證明見解析
（Ⅱ）90°

本題主要考查平面幾何中與圓有關(guān)的定理及性質(zhì)的應(yīng)用、三角形相似及性質(zhì)的應(yīng)用.
證明：（Ⅰ）由已知條件，可得∠BAE＝∠CAD．
因?yàn)椤?i>AEB與∠ACB是同弧上的圓周角，所以∠AEB＝∠ACD．
故△ABE∽△ADC．
（Ⅱ）因?yàn)椤?i>ABE∽△ADC，所以，即AB·AC＝AD·AE．
又S＝AB·ACsin∠BAC，且S＝AD·AE，故AB·ACsin∠BAC＝AD·AE．
則sin∠BAC＝1，又∠BAC為三角形內(nèi)角，所以∠BAC＝90°．
【點(diǎn)評(píng)】在圓的有關(guān)問題中經(jīng)常要用到弦切角定理、圓周角定理、相交弦定理等結(jié)論，解題時(shí)要注意根據(jù)已知條件進(jìn)行靈活的選擇，同時(shí)三角形相似是證明一些與比例有關(guān)問題的的最好的方法.