Question

如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是平行四邊形，AA₁⊥底面ABCD，AD=1，AB=2，∠BAD=60°，E、F分別是側棱BB₁、CC₁上一點，BE=1，CF=2，平面AEF與側棱DD₁相交于G．
（1）證明：平面AEFG⊥平面BB₁C₁C；
（2）求線段CG與平面AEFG所成角的正弦值；
（3）求以C為頂點，四邊形AEFG在對角面BB₁D₁D內的正投影為底面邊界的棱錐的體積．

Answer 1

分析：（1）先利用條件證明BD⊥平面AA₁D₁D，再推得GE∥BD⇒GE⊥平面BB₁C₁C⇒平面AEFG⊥平面BB₁C₁C．
（2）先利用條件證明CE⊥平面AEFG，⇒∠CGE是CG與平面AEFG所成的角，然后在△CGE中求線段CG與平面AEFG所成角的正弦值即可；
（3）因為四邊形AEFG在對角面BB₁D₁B內的正投影為平行四邊形，且點A的正投影為點D，所以找到底面積S=DG×GE=

3

，
高h=BC=1，再代入體積計算公式即可．
方法二：是用建立空間直角坐標系D-xyz的方法來求
（1）先利用條件找到平面AEFG的一個法向量和平面BB₁C₁C的一個法向量，再推得他們的數量積為0即可．
（2）把線段CG與平面AEFG所成角的正弦值轉化為求平面AEFG的一個法向量與

GC

=(-1，

3

，-1)所成角的余弦值的絕對值來求．

解答：解：（1）證明：連接BD，在△ABD中，由余弦定理得BD=

3

，
由勾股定理逆定理得∠ADB=90°，AD⊥BD，
又因為AA₁⊥底面ABCD，AA₁⊥BD，AA₁∩AD=A，
所以BD⊥平面AA₁D₁D，因為平面AA₁D₁D∥平面BB₁C₁C，
所以AE∥FG，同理AG∥EF，所以AEFG是平行四邊形，
所以AG=EF，

AD2+DG2

=

BC2+(CF-BE)2

，所以DG=CF-BE=1=BE，
連接EG，因為DG∥BE，所以BDGE是平行四邊形，GE∥BD，
因為BD⊥平面AA₁D₁D，所以GE⊥平面BB₁C₁C，GE?平面AEFG，所以平面AEFG⊥平面BB₁C₁C．

（2）連接CE，因為CF=2、CE=

BC2+BE2

=

2

=EF，CF²=CE²+EF²，所以CE⊥EF，
因為平面AEFG⊥BB₁C₁C，平面AEFG∩BB₁C₁C=EF，CE?平面BB₁C₁C，所以CE⊥平面AEFG，
連接EG，則CE⊥EG，∠CGE是CG與平面AEFG所成的角，
因為CG=

CD2+DG2

=

5

，所以sin∠CGE=

CE

CG

=

2

5

．

（3）四邊形AEFG在對角面BB₁D₁B內的正投影為平行四邊形，且點A的正投影為點D，
所以底面積S=DG×GE=

3

（12分），
高h=BC=1（14分），所以棱錐的體積V=

1

3

Sh=

3

3

．
方法二：（1）連接BD，在△ABD中，由余弦定理得BD=

3

，
由勾股定理逆定理得∠ADB=90°，AD⊥BD，
又因為AA₁⊥底面ABCD，所以以D為坐標原點，DA、DB、DD₁
所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系D-xyz，
則A（1，0，0）、E(0，

3

，1)、F(-1，

3

，2)，
設平面AEFG的一個法向量為

n1

=（a，b，c），則

n1 • AE =0 n1 • EF =0

，

-a+ 3 b+c=0 -a+c=0

，
取a=1得

n1

=（1，0，1），平面BB₁C₁C的一個法向量為

n2

=（0，1，0），
因為

n1

•

n2

=0，所以平面AEFG⊥BB₁C₁C．

（2）設G（0，0，d），因為平面AA₁D₁D∥平面BB₁C₁C，所以AE∥FG，同理AG∥EF，
所以AEFG是平行四邊形，所以

AG

=

EF

，
即（-1，0，d）=（-1，0，1），解得d=1，又C(-1，

3

，0)，所以

GC

=(-1，

3

，-1)，
設CG與平面AEFG所成角為θ，則sinθ=|cos＜

n1

，

GC

＞|=

| n1 • GC |

| n1 |•| GC |

=

2

5

．

點評：本題綜合考查了平面和平面垂直的判定和性質以及線面角，幾何體的體積計算．在證明面面垂直時，其常用方法是在其中一個平面內找兩條相交直線和另一平面內的某一條直線垂直．