Question

從橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）和拋物線C₂：x²=2py（p＞0）上各取兩點．將其坐標記錄于表中：

x	-3	0	1	5
y	9 4	2	1 4	3 2

（1）求橢圓C₁和拋物線C₂的方程；
（2）橢圓C₁和拋物線C₂的交點記為A、B，點M為橢圓上任意一點，求

MA

 • 

MB

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先利用

x2

y

=2p（常數）判斷哪兩點在拋物線C₂上，從而另外兩點在橢圓C₁上．再利用待定系數法，即可求出橢圓C₁和拋物線C₂的方程；
（2）設點M的坐標為（x₀，y₀），利用數量積的坐標公式將

MA

 • 

MB

轉化成x₀，y₀的式子，結合點M在橢圓C₁上可得x₀，y₀滿足的關系式，從而將

MA

 • 

MB

表示成關于y₀的代數式，利用配方法并根據y₀的范圍加以計算，即可得到

MA

 • 

MB

的取值范圍．

解答：解：（1）根據拋物線方程x²=2py，經驗證知點（-3，

9

4

）、（1，

1

4

）在拋物線C₂上，
由此可得（-3）²=2p×

9

4

，解得2p=4，拋物線C₂方程為x²=4y，
∵點（0，

2

）、（

5

，

3

2

）在橢圓C₁上，
∴

02 a2 + 2  b2 =1 5  a2 + 3 4   b2 =1

，解之得a²=8，b²=2，得橢圓C₁方程為

x2

8

+

y2

2

=1；
（2）將橢圓C₁方程與拋物線方程聯解，得A（-2，1），B（2，1）
設點M的坐標為（x₀，y₀），可得

MA

=(-2-x0，1-y0)，

MB

=(2-x0，1-y0)
∴

MA

 • 

MB

=（-2-x₀）（2-x₀）+（1-y₀）（1-y₀）=x₀²-4+y₀²-2y₀+1
結合橢圓方程，化簡得

MA

 • 

MB

=-3-2y₀+5=-3（y₀+

1

3

）²+

16

3

∵y₀∈[-2，2]，∴-3（y₀+

1

3

）²+

16

3

∈[-1-

2

，

16

3

]
即

MA

 • 

MB

的取值范圍[-1-

2

，

16

3

]．

點評：本題給出橢圓拋物線經過的定點，求它們的方程并研究

MA

 • 

MB

的取值范圍，著重考查了橢圓、拋物線的標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．