Question

隨機抽取某廠的某種產品200件，經質檢，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生產1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元．設1件產品的利潤（單位：萬元）為ξ．
（1）求ξ的分布列；
（2）求1件產品的平均利潤（即ξ的數學期望）；
（3）經技術革新后，仍有四個等級的產品，但次品率降為1%，一等品率提高為70%．如果此時要求1件產品的平均利潤不小于4.73萬元，則三等品率最多是多少？

Answer 1

分析：（1）由題意知，ξ的所有可能取值有6，2，1，-2，利用概率的公式分別求出它們的概率，列成表格即得；
（2）為了1件產品的平均利潤，只須利用數學期望公式計算出數學期望值大小即可；
（3）設技術革新后的三等品率為x，再算出用x表示的此時1件產品的數學期望值，列不等關系解不等式即可．

解答：解：ξ的所有可能取值有6，2，1，-2；P(ξ=6)=

126

200

=0.63，P(ξ=2)=

50

200

=0.25P(ξ=1)=

20

200

=0.1，P(ξ=-2)=

4

200

=0.02
故ξ的分布列為：

ξ	6	2	1	-2
P	0.63	0.25	0.1	0.02

（2）Eξ=6×0.63+2×0.25+1×0.1+（-2）×0.02=4.34
（3）設技術革新后的三等品率為x，則此時1件產品的平均利潤為E（x）=6×0.7+2×（1-0.7-0.01-x）+1×x+（-2）×0.01=4.76-x（0≤x≤0.29）
依題意，E（x）≥4.73，即4.76-x≥4.73，解得x≤0.03所以三等品率最多為3%

點評：本題主要考查了離散型隨機變量及其分布列和離散型隨機變量的期望與方差，屬于基礎題之列．