Question

已知函數f（x）=log_a（2-x）+log_a（x+2）（0＜a＜1）
（1）求函數f（x）的定義域；  
（2）求函數f（x）的零點；
（3）若函數f（x）的最小值為-2，求a的值．

Answer 1

分析：（1）利用對數函數有意義的條件，可得結論；
（2）令f（x）=0，解方程，可得函數f（x）的零點；
（3）確定f（x）_min=log_a4，結合函數f（x）的最小值為-2，即可求a的值．

解答：解：（1）要使函數有意義：則有

2-x＞0 x+2＞0

，解之得：-2＜x＜2，…（2分）
所以函數的定義域為：（-2，2）…（3分）
（2）令f（x）=log_a（2-x）+log_a（x+2）=0，得-x²+4=1，即x=±

3

…（5分）
∵±

3

∈(-2，2)，∴函數f（x）的零點是±

3

…（6分）
（3）函數可化為：f（x）=log_a（2-x）+log_a（x+2）=loga(-x2+4)（0＜a＜1）
∵-2＜x＜2，∴0＜-x²+4≤4…（7分）
∵0＜a＜1，loga(-x2+4)≥loga4，即f（x）_min=log_a4…（8分）
由log_a4=-2，得a^-2=4，∴a=

1

2

…（9分）

點評：本題考查對數函數的性質，考查函數的零點，考查學生的計算能力，屬于中檔題．