Question

設A，B分別是直線y=x和y=-x上的兩個動點，并且||=,動點P滿足=+.記動點P的軌跡為C.

（1）求軌跡C的方程;

（2）M，N是曲線C上的任意兩點，且直線MN不與y軸垂直，線段MN的中垂線l交y軸于點E（0，y₀），求y₀的取值范圍.

Answer 1

解：（1）設P（x,y）,因為A、B分別為直線y=x和y=-x上的點，故可設A（x₁ , x₁）,B(x₂ ,x₂).∵=+,∴

∴又，?

∴（x₁-x₂）²+(x₁+x₂)=20.?

∴.即曲線C的方程為.?

(2)設直線MN為y=kx+b(k≠0),則消去y，得（25k²+16）x²+50kbx+25(b²-16)=0.(*)由于M、N是曲線C上的任意兩點，?

∴Δ=（50kb）²-4×25(25k ²+16)(b ²-16)＞0.即25k ²b ²-(25k ²+16)(b ²-16)＞0.∴b ²＜25k²+16.①由（*）式可得,則直線l為.由于E(0,y₀)在l上 ,∴.②由②得.代入①得.∴-.即y₀的取值范圍是（，）.