Question

(2014·海淀模擬)如圖,在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中,∠BAC=90°,AB=AC=AA₁,且E是BC中點.

(1)求證：A₁B∥平面AEC₁.
(2)求證：B₁C⊥平面AEC₁.

Answer 1

（1）見解析      （2）見解析

(1)連接A₁C交AC₁于點O,連接EO,
因為ACC₁A₁為正方形,所以O為A₁C中點.
又E為CB中點,所以EO為△A₁BC的中位線,
所以EO∥A₁B.
又EO?平面AEC₁,A₁B?平面AEC₁,
所以A₁B∥平面AEC₁.
(2)因為AB=AC,又E為CB中點,
所以AE⊥BC,
又因為在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中,
BB₁⊥底面ABC,  
又AE?底面ABC,所以AE⊥BB₁,
又因為BB₁∩BC=B,所以AE⊥平面BCC₁B₁,
又B₁C?平面BCC₁B₁,
所以AE⊥B₁C.
在矩形BCC₁B₁中,
tan∠BCB₁=tan∠EC₁C=,
所以∠BCB₁=∠EC₁C,
所以∠BCB₁+∠CEC₁=90°,
即B₁C⊥EC₁.
又AE∩EC₁=E,所以B₁C⊥平面AEC₁.