Question

（1）數列{a_n}是以1為首項，以2為公比的等比數列，求S=a1

C

0 n

+a2

C

1 n

+a3

C

2 n

+…+an+1

C

n n

（2）數列{a_n}是以0為首項，以1為公差的等差數列，求P=a1

C

0 n

+a2

C

1 n

+a3

C

2 n

+…+an+1

C

n n

（3）若S_n表示以a₁為首項，以q為公比的等比數列{a_n}的前n項的和，求T=S1

C

0 n

+S2

C

1 n

+S3

C

2 n

+…+Sn+1

C

n n

（用a₁和q表示）．

Answer 1

分析：（1）利用二項式定理將S變形為（1+2）ⁿ，即可得到答案；
（2）先倒序相加，再利用二項式定理得到2P=n×2ⁿ，即可得到答案；
（3）分公比q=1或q≠1兩種情況，再利用二項式定理來解答，即可得到答案．

解答：解：（1）由于an=2n-1，所以S=

C

0 n

+2

C

1 n

+22

C

2 n

+…+2n

C

n n

=(1+2)n=3n；
（2）由于a_n=n-1，所以P=0×

C

0 n

+1×

C

1 n

+2

C

2 n

+…+n

C

n n

…（1）
P=n

C

n n

+(n-1)

C

n-1 n

+…2

C

2 n

+1×

C

1 n

+0×

C

0 n

…（2）
兩式相加得：2p=n

C

0 n

+n

C

1 n

+…+n

C

n n

=n×2n，
所以p=n×2^n-1；
（3）當q=1時，S_n=na₁，
所以T=a1[

C

0 n

+2

C

1 n

+3

C

2 n

+…+(n+1)

C

n n

]，
T=a1[(n+1)

C

n n

+n

C

n-1 n

+…2

C

1 n

+

C

0 n

]，
所以 2T=a1(n+2)2n，
即T=a1(n+2)×2n-1，
當q≠1時，Sn=

a1(1-qn)

1-q

．
T=

a1

1-q

[(

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

+…

C

n n

)-q(

C

0 n

+q

C

1 n

+q2

C

2 n

+…qn

C

n n

)]
=

a1

1-q

[2n-q(1+q)n]．

點評：解答本題時若不能合理拆項又或者想不到去拆項將會無從下手，所以對這種題型同學們要能做到舉一反三，所謂手中有糧，心中不慌，要具備解答這類題目的知識儲備才行．