Question

已知實數x、y滿足方程（x-a+1）²+（y-1）²=1，當0≤y≤b（b∈R）時，由此方程可以確定一個偶函數y=f（x），則拋物線y=-

1

2

x2的焦點F到點（a，b）的軌跡上點的距離最大值為

 

．

Answer 1

分析：由題設條件當0≤y≤b（b∈R）時，由此方程可以確定一個偶函數y=f（x），可知方程（x-a+1）²+（y-1）²=1，關于y軸成軸對稱，故有-a+1=0，又由圓的幾何特征及確定一個偶函數y=f（x）知，y的取值范圍是[0，1]，由此可以求出b的取值范圍，由此點（a，b）的軌跡求知，再由拋物線的性質求得其焦點坐標為（0，-

1

2

），最大距離可求

解答：解：由題意可得圓的方程一定關于y軸對稱，故由-a+1=0，求得a=1
由圓的幾何性質知，只有當y≤1時，才能保證此圓的方程確定的函數是一個偶函數，故0＜b≤1
由此知點（a，b）的軌跡是一個線段，其橫坐標是1，縱坐標屬于（0，1]
又拋物線y=-

1

2

x2故其焦點坐標為（0，-

1

2

）
由此可以判斷出焦點F到點（a，b）的軌跡上點的距離最大距離是

(1-0)2+(1+ 1 2 )2

=

13

2

故答案為

13

2

點評：本題考查拋物線的簡單性質以及圓的幾何特征，偶函數的圖象特征，兩點間的距離公式，求解本題關鍵是根據所給的題設條件判斷出點（a，b）的軌跡，此過程比較抽象，應好好體會，由圓的特征知當縱坐標的軸大于1時，就會出現兩個y對應一個x的情況，這顯然不符合函數的定義，故得出y的取值范圍是[0，1]，函數定義在這個地方的運用，十分隱蔽，極難想到，且此類題不多見，應充分利用本題好好體會一下．本題易因為忘記了函數的定義而求得y的取值范圍是[0，2]，從而得到b的取值范圍是[0，2]，導致錯誤．