Question

（2012•奉賢區(qū)一模）出租車(chē)幾何學(xué)是由十九世紀(jì)的赫爾曼-閔可夫斯基所創(chuàng)立的．在出租車(chē)幾何學(xué)中，點(diǎn)還是形如（x，y）的有序?qū)崝?shù)對(duì)，直線(xiàn)還是滿(mǎn)足ax+by+c=0的所有（x，y）組成的圖形，角度大小的定義也和原來(lái)一樣．直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）定義它們之間的一種“距離”：|AB|=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|，請(qǐng)解決以下問(wèn)題：
（1）求線(xiàn)段x+y=2（x≥0，y≥0）上一點(diǎn)M（x，y）的距離到原點(diǎn)O（0，0）的“距離”；
（2）定義：“圓”是所有到定點(diǎn)“距離”為定值的點(diǎn)組成的圖形，求“圓周”上的所有點(diǎn)到點(diǎn)Q（a，b）的“距離”均為 r的“圓”方程；
（3）點(diǎn)A（1，3）、B（6，9），寫(xiě)出線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)的軌跡方程并畫(huà)出大致圖象．（說(shuō)明所給圖形小正方形的單位是1）

Answer 1

分析：（1）利用“距離”的定義能夠求出線(xiàn)段x+y=2（x≥0，y≥0）上一點(diǎn)M（x，y）的距離到原點(diǎn)O（0，0）的“距離”．
（2 ）利用“圓”的概念，能夠求出“圓周”上的所有點(diǎn)到點(diǎn)Q（a，b）的“距離”均為 r的“圓”的方程．
（3）由已知條件，得|x-1|+|y-3|=|x-6|+|y-9，由此能夠求出線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)的軌跡方程并畫(huà)出大致圖象．

解答：解：（1）∵任意兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）定義它們之間的一種“距離”：|AB|=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|，
∴線(xiàn)段x+y=2（x≥0，y≥0）上一點(diǎn)M（x，y）的距離到原點(diǎn)O（0，0）的“距離”：
MO=|x-0|+|y-0|=|x|+|y|=x+y=2．…（3分）
（2 ）∵“圓”是所有到定點(diǎn)“距離”為定值的點(diǎn)組成的圖形，
∴“圓周”上的所有點(diǎn)到點(diǎn)Q（a，b）的“距離”均為 r的“圓”方程為：
|x-a|+|y-b|=r…（6分）
（3）由已知條件得|x-1|+|y-3|=|x-6|+|y-9|…（8分）
若x≤1，則y=8.5              …（10分）
若1≤x≤6，則x+y=9.5            …（12分）
若6≤x，則y=3.5             …（14分）
圖象如右圖所示．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查“距離”的定義，“圓”的概念，寫(xiě)出線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)的軌跡方程并畫(huà)出大致圖象．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．