Question

義域分別是D_f，Dg的函數y=f（x），y=g（x），規定：函數h（x）=

f(x)•g(x)     (x∈Df且x∈Dg) f(x)     (x∈Df且x∉Dg) g(x)   (x∉Df且x∈Dg)

，
若函數f（x）=-2x+3，x≥1；g（x）=x-2，X∈R．則函數h（x）的解析式為

h(x)=

-2x2+7x-6  (x≥1) x-2                 (x＜1)

，函數h（x）的最大值為

1

8

．

Answer 1

分析：由于函數f（x）=-2x+3，g（x）=x-2，對x進行分類討論：當x≥1時，h（x）=f（x）g（x）；當x＜1時，h（x）=g（x）=x-2．從而得出h（x）的解析式；
分段函數的值域分段求，所以分別求出x≥1和x＜1時的值域，最后取并集即得函數h（x）的值域，則最大值可求．

解答：解：（1）由于函數f（x）=-2x+3，g（x）=x-2，根據題意得：
當x≥1時，h（x）=f（x）g（x）=（-2x+3）（x-2）=-2x²+7x-6；
當x＜1時，h（x）=g（x）=x-2．
所以h(x)=

-2x2+7x-6  (x≥1) x-2                 (x＜1)

．
（2）當x≥1時，h（x）=-2x²+7x-6=--(x-

7

4

)2+

1

8

，因此，當x=

7

4

時，h（x）最大，h（x）的最大值為

1

8

．
若x＜1時，h（x）=x-2＜1-2=-1．
∴函數h（x）的最大值為 

1

8

．

點評：本小題主要考查函數的值域、函數解析式的求解及常用方法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．