Question

已知△ABC的三邊長分別為a、b、c，且滿足abc=
（1）是否存在邊長均為整數的△ABC？若存在，求出三邊長；若不存在，說明理由。
（2）若a＞1，b＞1，c＞1，求出△ABC周長的最小值。

Answer 1

（1）存在三邊長均為整數的△ABC，其三邊長分別為4，5，6或3，7，8，（2）△ABC的周長最小值為，當且僅當時，取得此最小值

（1）不妨設整數a≥b≥c，顯然c≥2。
若c≥5，這時
由，可得
。
矛盾。
故c只可能取2，3，4。
當c=2時，，有
又a≥b≥2，故無解。
當c=3時，，即
又a≥b≥3，故
或或
解得或或
能構成三角形的只有a=8，b=7，c=3。
當c=4時，同理解得a=9，b=4或a=6，b=5。
能構成三角形的只有a=6，b=5，c=4。
故存在三邊長均為整數的△ABC，其三邊長分別為4，5，6或3，7，8
（2）由，可得

所以，
又，則有

故△ABC的周長最小值為，當且僅當時，取得此最小值。