Question

已知函數f（x）=lnx-

a

x

（1）求函數f（x）的單調增區間．
（2）若函數f（x）在[1，e]上的最小值為

3

2

，求實數a的值．

Answer 1

分析：（1）要求函數f（x）的單調增區間，即求導函數值大于等于0的區間，我們根據求出函數導函數的解析式，結合函數的定義域，分類討論后，即可得到答案．
（2）由（1）中函數的導函數的解析式，我們對a的取值進行分析討論，求出對應的函數的單調區間，并分析函數f（x）在[1，e]上何時取最小值，分析后即可得到答案．

解答：解：∵f（x）=lnx-

a

x

∴函數的定義域為（0，+∞）
且f'（x）=

1

x

+

a

x2

=

x+a

x2

①當a≥0時，f'（x）≥0恒成立，
∴函數f（x）的單調增區間為（0，+∞）
②當a＜0時，令f'（x）≥0，則x＞-a
∴函數f（x）的單調增區間為（-a，+∞）
（II）由（I）可知，f'（x）=

x+a

x2

①若a≥-1，則x+a≥0，則f'（x）≥0恒成立，
函數f（x）在[1，e]上為增函數
∴f（x）的最小值為：f（1）=-a=

3

2

，此時a=-

3

2

（舍去）
②若a≤-e，則f'（x）≤0恒成立，
函數f（x）在[1，e]上為減函數
∴f（x）的最小值為：f（e）=1-

a

e

=

3

2

，此時a=-

e

2

（舍去）
③若-e＜a＜-1，當1＜x＜-a時，則f'（x）＜0，
當-a＜x＜e時，f'（x）＞0，
∴f（x）的最小值為：f（-a）=ln（-a）+1=

3

2

，此時a=-

e

綜上所述：a=-

e

點評：本題考查的知識點是利用導數研究函數的單調性，利用導數求閉區間上函數的最值，其中根據導函數的解析式，對參數a進行分析討論是解答本題的關鍵．