Question

已知函數的圖象在點處的切線方程為
.
（1）求實數的值；
（2）設.
①若是上的增函數，求實數的最大值；
②是否存在點，使得過點的直線若能與曲線圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積總相等．若存在，求出點坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

（1） ；（2）①3；②存在，.

試題分析：（1）由題意可知，又切線的斜率為，從而可列出關于的方程組，解得；（2）①由（1）得，它在區間上是增函數，說明在上恒成立，求得，那么，可變形為，因此我們只要求出在上的最小值即可，而求最小值時可用換元法.設；②從題意可知點若存在，則必是圖象的對稱中心，因此我們著重點在于尋找的對稱中心，同時我們知道愛的渴，則圖象的對稱點心是，由于是由一個整式與一個分式相加，可以先考慮分式，使為常數，，再代入驗證是不是為常數.
試題解析：（1）時，
，         2分
在直線上，，即 
           4分
，
（2）①
是上的增函數，
，
在上恒成立，        6分
令  則，
設， 在上恒成立        7分
恒成立，， 實數最大值為        9分
②由，


，          11分
表明：若點為圖象上任意一點，則點也在圖象上，
而線段的中點恒為；由此可知圖象關于點對稱.
這也表明存在點，使得過的直線若能與圖象相交圍成封閉圖形，
則這兩個封閉圖形面積相等．        13分（其它解法相應給分）.