Question

已知扇形的圓心角為（定值），半徑為（定值），分別按圖一、二作扇形的內接矩形，若按圖一作出的矩形面積的最大值為，則按圖二作出的矩形面積的最大值為_____________．

Answer 1

解：圖一，設∠MOQ=x，則MQ=rsinx
在△OMN中，MN /sin(2α-x) ="r" /sin(180°-2α) ，∴MN=rsin(2α-x) /sin2α
∴矩形面積S=r²sin(2α-x) sinx/ sin2α =r² 2sin2α [cos(2x-2α)-cos2α]≤r² 2sin2α [1-cos2α]="1" /2 r²tanα
當且僅當x=α時，取得最大值，故圖一矩形面積的最大值為1 2 r2tanθ，圖二可拆分成兩個，
圖一角是2α，圖二拆分后角是α，故根據圖1得出的結論，可得矩形面積的最大值為
1/ 2 r²tan(θ/2)而圖二時由兩個這樣的圖形組成，所以兩個則為r²tan(θ/ 2 )．
故答案為：r²tan(θ/2)