Question

（2008•南匯區一模）定義矩陣方冪運算：設A是一個n×n的矩陣，定義

A1=A Ak+1=Ak•A(k∈N*)

．若A=

1 1 0 1

，
求（1）A²，A³；
（2）猜測Aⁿ（n∈N^*），并用數學歸納法證明．

Answer 1

分析：（1）二階矩陣的知法法則：

a b c d

 •

x y z w

 =

ax+bz ay+bw cx+dz cy+dw

，按照這個法則，就不難算出A²，A³的值了；
（2）根據計算出的n=1、2、3的Aⁿ的形式，先假設An=

1 n 0 1

(n∈N*)，再根據數學歸納的法則進行證明：①n=1時，等式顯然成立；②假設n=k時等式成立，通過矩陣乘法法則，可推導出當n=k+1時，等式也成立．由此可得原等式對任意正整數都成立．

解答：解：（1）A2=

1 1 0 1

)2=

1 2 0 1

…（2分），
A3=

1 3 0 1

…（4分）
（2）證明：猜測An=

1 n 0 1

(n∈N*)…（6分）
1°n=2時，由（1）知顯然成立
2°假設n=k時，Ak=

1 k 0 1

(k∈N*)成立
則當n=k+1時，有定義得Ak+1=Ak•A=

1 k 0 1

1 1 0 1

=

1 k+1 0 1

∴Ak+1=

1 k+1 0 1

也成立．
由1°、2°可知，對任意n∈N^*，An=

1 n 0 1

均成立．  …（15分）

點評：本題以二階行列式為載體，考查了數學歸納法的一般步驟，屬于中檔題．牢記二階矩陣的乘法法則，并能準確運用，是解決本題的關鍵．