Question

已知函數f（x）=|x|•（x+a）（a∈R）是奇函數．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）設b＞0，若函數f（x）在區間[-b，b]上最大值與最小值的差為b，求b的值．

Answer 1

分析：（I）根據函數f（x）=|x|•（x+a）（a∈R）是奇函數，得到f（0）=0，從而求得a值即可；
（II）由（I）得函數f（x）=|x|•x（a∈R）在區間[-b，b]上增函數，結合題意：函數f（x）在區間[-b，b]上最大值與最小值分別為：b²，-b²，列出方程即可求得b值．

解答：解：（I）∵函數f（x）=|x|•（x+a）（a∈R）是奇函數
∴f（0）=0，
∴a=0．
（II）函數f（x）=|x|•x（a∈R）在區間[-b，b]上增函數，
函數f（x）在區間[-b，b]上最大值與最小值分別為：b²，-b²，
∴b²+b²=b．
∴b=

1

2

．

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、函數奇偶性的應用、函數的最值及其幾何意義等基礎知識、化歸與轉化思想．屬于基礎題．