Question

在數列中，對于任意自然數，都有a₁+a₂+…+a_n=2ⁿ-1，則a₁²+a₂²+…+a_n²=

4n-1

3

．

Answer 1

分析：利用Sn與an關系，得出a_n²=4 ^{n-1， _得出}數列{a_n²}是以4為公比的等比數列，利用等比數列求和公式計算即可．

解答：解：∵a₁+a₂+…+a_n=2ⁿ-1   ①∴a₁+a₂+…+a_n+1+a_n+1=2ⁿ⁺¹-1②，②-①得a _n+1=2ⁿ∴a_n²=4 ^n-1，數列{a_n²}是以4為公比的等比數列，由a₁=2-1=1，得a₁²=1
由等比數列求和公式得a₁²+a₂²+…+a_n²=

1-4n

1-4

=

4n-1

3

故答案為：

4n-1

3

．

點評：本題考查了Sn與an關系的具體應用，等比數列的定義，判斷，求和公式．