Question

在R上定義運算：pq=-（p-c）（q-b）+4bc（b、c∈R是常數）。記f₁（x）=x²-2c，f₂（x）=x-2b，x∈R，令f（x）=f₁（x）f₂（x）。
（1）如果函數f（x）在x=1處有極值-，試確定b、c的值；
（2）求曲線y=f（x）上斜率為c的切線與該曲線的公共點；
（3）記g（x）=|f′（x）|（-1≤x≤1）的最大值為M，若M≥k對任意的b、c恒成立，試求k的最大值。

Answer 1

解：（1）依題意
解
得或
若
則
f′（x）=
f（x）在R上單調遞減，在x=1處無極值；
若，則

直接討論知，f（x）在x=1處有極大值，
所以。
（2）解f′（t）=c得t=0或t=2b，切點分別為（0，bc）、
相應的切線為y=cx+bc或
解
即x³-3bx²+4b³=0
得x=-b或x=2b
綜合可知，b=0時，斜率為c的切線只有一條，與曲線的公共點只有（0，0），
b≠0時，斜率為c的切線有兩條，與曲線的公共點分別為（0，bc）、（3b，4bc）和。
（3）g（x）=|-（x-b）²+b²+c|
若|b|＞1，則f′（x）在[-1，1]是單調函數，
M=max{|f′（-1）|，|f′（1）|}={|-1+2b+c|，|-1-2b+c|}，
因為f′（1）與f′（-1）之差的絕對值|f′（1）-f′（-1）|=|4b|＞4，
所以M＞2
若|b|≤1，f′（x）在x=b∈[-1，1]取極值，
則M=max{|f′（-1）|，|f′（1）|，|f′（b）|}，f′（b）-f′（±1）=（b±1）²
若-1≤b＜0，f′（1）≤f′（-1）≤f′（b）

若0≤b≤1，f′（-1）≤f′（1）≤f′（b），

當b=0，時，在[-1，1]上的最大值
故M≥k對任意的b，c恒成立的k的最大值為。